Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số - Lý Thuyết Và Bài Tập Có Lời Giải

1.  Lý thuyết số lượng giới hạn của sản phẩm số

1.1. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn 0

Định nghĩa: Nếu với từng số dương nhỏ tùy ý  từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng nào là tê liệt trở chuồn, đều phải sở hữu độ quý hiếm vô cùng nhỏ rộng lớn số dương tê liệt thì sản phẩm số (un) tê liệt sở hữu số lượng giới hạn 0.

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số - Lý Thuyết Và Bài Tập Có Lời Giải

Tính chất:

$lim \frac{1}{n}=0; lim\frac{1}{n^{\alpha}}=0(\alpha>0); limq^{n}=0(\left | q \right |<1)$

Định lý:

$u_{n},v{n}:\left\{\begin{matrix} \left | u_{n} \right | \leq v_{n}\\ lim(v_{n})=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow lim \, u_{n}=0$

1.2. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn là sản phẩm số lim (un – L) = 0(L là số thực) 

Tính chất:  

• $u_{n}=c$, sở hữu số lượng giới hạn là c;

• $lim \,u_{n}=L \Leftrightarrow \left | u_{n}-L \right |$ bên trên trục số từ thực điểm $u_{n}$ cho tới L trở thành nhỏ từng nào cũng khá được miễn sao n đầy đủ lớn

Nói một cơ hội hình hình họa Lúc N tăng thì những điểm $u_{n}$ “chụm lại” 

• Không cần sản phẩm số nào là cũng đều có số lượng giới hạn hữu hạn

Định lý:

• Với $lim(u_{n})=L$ thì tao sở hữu ấn định lý:

$lim\left | u_{n} \right |=\left | L \right |$ và $lim\sqrt[3]{u_{n}}=\sqrt[3]{L}$.

Nếu $u_{n}\geq 0$ với $\forall n$ thì $L\geq 0$ và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{L}$

• Nếu $lim\, u_{n}=L, lim\, v_{n}=M$ và c là một trong hằng số thì tao rất có thể suy ra

$lim(u_{n}+v_{n})=L+M$

$lim(u_{n}-v_{n})=L-M$

$lim(u_{n},v_{n})=LM$

$lim(cu_{n})=cL$

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{L}{M}$(nếu $M\neq 0$)

1.3. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn vô cực

1.3.1. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn $+\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số dương tuỳ ý mang đến trước, từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng nào là tê liệt trở chuồn, đều to hơn số dương tê liệt thì tao gọi này đó là sản phẩm số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn $+\infty$

Hay tao rất có thể hiểu, $lim \, u_{n}=+\infty$ vô tình huống $u_{n}$ rất có thể to hơn một vài dương rộng lớn tuỳ ý, Tính từ lúc số hạng nào là tê liệt trở đi

Tính chất: 

$lim\sqrt{u_{n}}=+\infty$

$lim\sqrt[3]{u_{n}}=+\infty$

$lim\,n^{k}=+\infty$ với một vài nguyên vẹn dương k mang đến trước

Trường hợp ý đặc biệt: $lim \, q^{n}=+\infty$

$lim \, q^{n}=+\infty$ nếu q > 1

1.3.2. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn $-\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số âm tuỳ ý mang đến trước, từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng nào là tê liệt trở chuồn, đều nhỏ rộng lớn số âm tê liệt thì tao trình bày này đó là sản phẩm số sở hữu số lượng giới hạn $-\infty$

Ký hiệu:  $lim \, u_{n}=-\infty$

Hay t rất có thể hiểu, $lim \, u_{n}=-\infty$ nếu un rất có thể nhỏ rộng lớn một vài âm nhỏ tùy ý.

Tính chất: 

$lim\, u_{n}=-\infty \Leftrightarrow lim(-u_{n})=+\infty$

Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì un trở thành rộng lớn từng nào cũng khá được miễn n đầy đủ rộng lớn. Do tê liệt $\left | \frac{1}{u_{n}} \right |=\frac{1}{\left [ u_{n} \right ]}$ trở thành nhỏ từng nào cũng khá được, miễn n đầy đủ rộng lớn. Nói cách thứ hai, nếu như limun=+ thì lim 1un=0

• Định lý: Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì $lim\frac{1}{u_{n}}=0$

Tham khảo ngay lập tức cỗ tư liệu ôn tập luyện kỹ năng và tổ hợp cách thức giải từng dạng bài xích tập luyện vô đề đua Toán trung học phổ thông Quốc gia

2. Các dạng toán về số lượng giới hạn của sản phẩm số và ví dụ

2.1. Dạng 1: Tính số lượng giới hạn sản phẩm số được mang đến bởi vì công thức.

Ví dụ 1: Tìm $lim(n^{3}-2n+1)$?

Lời giải:

Ta có: $n^{3}-2n+1=n^{3}(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}$

Vì $lim\, n^{3}=+\infty$ và $lim(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}=1>0$ nên theo đòi quy tắc 2, $lim(n^{3}-2n+1)=+\infty$

Ví dụ 2: Tìm $lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}$

Lời giải:

$lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}=lim\sqrt[3]{8-\frac{3}{n}}=\sqrt[3]{8}=2$

Ví dụ 3: 

a. Tìm $A=lim\frac{2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+2}$

b. Tìm $B=\frac{n^{3}-3n^{2}+2}{n^{4}+4n^{3}+1}$

Lời giải:

2.2. Dạng 2: Tính số lượng giới hạn của sản phẩm số mang đến bởi vì hệ thức truy hồi

Ví dụ 1: Cho sản phẩm số $(u_{n})$ được xác lập bởi vì $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ với từng n ≥ 1. tường sản phẩm số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn, tính $lim\, u_{n}$

Lời giải:

Đặt $lim\, u_{n}=L \Rightarrow L=lim\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ 

$\Rightarrow L^{2}-L-2=0\Rightarrow L=2$ hoặc L = -1( loại)

Vậy $lim\, u_{n}=2$

Ví dụ 2: Cho $(u_{n})$ sở hữu $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải:

Sử dụng cách thức quy hấp thụ tao minh chứng được $u_{n}>0 \forall n$

Tuy đề bài xích ko hỗ trợ tài liệu là sản phẩm số $(u_{n})$có số lượng giới hạn hữu hạn hay là không tuy nhiên coi đáp án đề bài xích cho đều khắp là những số lượng giới hạn hữu hạn. Nhớ tê liệt, tao thể xác định được sản phẩm số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn.

Đặt $lim\, u_{n}=L\geq 0$

$lim\, u_{n+1}=lim\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$

Hay $L=\frac{1}{2}(L+\frac{2}{L})\Rightarrow L=\frac{2}{L}\Rightarrow L^{2}=2\Rightarrow L=\sqrt{2}$

Vậy $lim\, u_{n}=\sqrt{2}$ 

Ví dụ 3: Cho sản phẩm số $(u_{n})$ xác lập bởi vì $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=2u_{n}+\frac{1}{2}$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải: 

$v_{n}=u_{n}+\frac{1}{2}$. Ta có: $v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2u_{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2(u_{n}+\frac{1}{2})=2v_{n}$

$\Rightarrow (v_{n})$ là cấp cho số nhân sở hữu $v_{1}=\frac{3}{2}$ và q = 2. Vậy $v_{n}=\frac{3}{2}.3^{n-1}=3.2^{n-2}$

Do tê liệt $lim\, v_{n}=lim(3.2^{n-2})=+\infty$

2.3. Dạng 3: Tính số lượng giới hạn của sản phẩm số chứa chấp căn thức

Ví dụ 1: Tính $lim\sqrt{n^{2}+2n}-n$ 

Lời giải: 

$lim(\sqrt{n^{2}+2n-n}=lim\frac{(\sqrt{n^{2}+2}n)+(\sqrt{n^{2}+2n}-n)}{(\sqrt{n^{2}+2n}+n)}=lim\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}$

$=lim\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=lim{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của $I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$

Lời giải: 

$I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$
$=lim\frac{(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)}{\sqrt{n^{2}-2n+3}-n}$
$=lim\frac{(n^{2}-2n+3)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2n+3}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}+1}$
$=\frac{-2}{\sqrt{1}+1}=-1$

Ví dụ 3: Tìm $lim(n-\sqrt[3]{n^{3}+3n^{2}+1}$

Lời giải:

2.4 Dạng 4: Tính số lượng giới hạn của sản phẩm số hữu tỉ

Ví dụ 1: Cho a = 2.151515..., số a còn được màn trình diễn bên dưới dạng $a=\frac{m}{n}$, (m,n là những số nguyên vẹn dương). m + n =?

Lời giải: 

Ta có: $a=2,151515...=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$ là tổng của csn lùi vô hạn với $u_{1}=\frac{15}{100},q=\frac{1}{100}$

Xem thêm: XSMN 25/6 - Xổ số miền Nam hôm nay thứ 6 25/6/2021 - xổ số hôm nay 25/6 - SXMN - KQXSMN

$\Rightarrow a=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$

Vậy $m=71, n=33 \Rightarrow m+n=104$

Ví dụ 2: Bài mang đến số thập phân vô hạn tuần trả sở hữu dạng 0,32111... Cũng được viết lách bên dưới dạng phân số tối giản là $\frac{a}{b}$ (a,b là những số nguyên vẹn dương). a - b =?

Lời giải:

Ta có:

$0,3211...=\frac{32}{100}+\frac{1}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{5}}+...=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{10^{3}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$
Vậy a = 289, b = 900 Do tê liệt, a - b = -611

Ví dụ 3: Tính $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]$

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$

Vậy $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]=lim\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}$

2.5 Dạng 5: Tính số lượng giới hạn của sản phẩm số chứa chấp lũy quá - mũ 

Ví dụ 1: $lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=?$

Lời giải:

$lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=lim\frac{4(\frac{4}{8})^{n}+36(\frac{6}{8})^{n}}{(\frac{5}{8})^{n}+1}=0$

Ví dụ 2: $lim\frac{2^{n}-3^{n}}{2^{n}+1}=?$

Lời giải:

Ví dụ 3: $lim(3.2^{n}-5.3^{n}+7n)=?$

Lời giải:
$lim(3.2^{n}-5.3{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7)=-\infty$

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô ôn tập luyện và kiến thiết suốt thời gian ôn đua trung học phổ thông môn Toán sớm đạt 9+

3. Một số bài xích tập luyện về số lượng giới hạn của sản phẩm số kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên (Có điều giải)

Ví dụ 1: Xác ấn định những số lượng giới hạn mang đến lưới đây:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$

Lời giải:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}=lim\frac{n(6-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{2}{n})}=lim\frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{6-9}{3-0}=2$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}=limn23+1n-5n2n23+2n=lim{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{3}{2}$

Ví dụ 2: lim(5ⁿ - 2ⁿ)

Lời giải:

Ta có: $5^{n}-2^{n}=5^{n}(1-(\frac{2}{5}^{n})$

Vì $lim5^{n}=+\infty$ và $lim(1-(\frac{2}{5}^{n})=1>0$ nên theo đòi quy tắc 2, $lim(5^{n}-2^{n})=+\infty$

Ví dụ 3: Tìm lim(3.2ⁿ⁺¹ - 5.3ⁿ + 7n) =?

Lời giải: 

$lim(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7\frac{n}{3^{n}}=-\infty$
Ví dụ 4: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập u₁=0, u₂=1, u_n+1=2u_n-u_n-1+2 với từng $n\geq 2$. Tìm lim u_n?

Lời giải: 

Giả sử sản phẩm số bên trên sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn gọi  là L

$\Rightarrow lim\,u_{n}=2lim\,u_{n}-lim\,u_{n-1}+2\Leftrightarrow L=2L-L+2\Leftrightarrow 0=2$ ( Vô lý)

Vậy rất có thể Dự kiến sản phẩm số sở hữu số lượng giới hạn vô đặc biệt. Nhìn vô đáp án tao thấy sở hữu nhì đáp án vô đặc biệt ($-\infty$ và $+\infty$), vậy ko thể đoán là đáp án nào là. Ta coi nhì cơ hội giải sau.

Ta có: u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 4, u₄ = 9. Vậy tao rất có thể Dự kiến u_n = (n - 1)² với $\forall n\geq 1$. Khi tê liệt, 

u_n+1 = 2u_n - u_n-1 +2 = 2(n - 1)² - (n - 2² + 2) = n²

= [(n - 1) - 1]²

Vậy $u_{n}=(n-1)^{2}$ với $\forall n\geq 1$. Do tê liệt, $lim\,u_{n}=lim(n-1)^{2}=+\infty$

Ví dụ 5: Cho sản phẩm số (u_n) với $u_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2}$. Tìm lim u_n

Lời giải:

u_n là tổng n số hạng trước tiên của một cấp cho số nhân sở hữu $u_{1}=\frac{1}{2}$ và $q = \frac{-1}{2}$

Do tê liệt $u_{n}=\frac{1}{2}.\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-(\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n}\Rightarrow lim\,u_{n}=lim\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n})=\frac{1}{3}$

Ví dụ 6: Tìm $lim\, u_{n}$, với $u_{n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}$.

Lời giải:

Ta có: $1+2+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow \frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}=\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}$

$\Rightarrow lim\, u_{n}=lim\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 7: Tìm $lim\frac{1+5+9+...+4n-3}{2+7+12+...+5n-3}$

Lời giải:

Tử thức là tổng của n số hạng trước tiên của cấp cho số nằm trong (u_n) với n = 1, u_n = 4n -3 và công bội d = 4

Do tê liệt 1+ 5 + 9 +....+ 4n - 3 = 

Tương tự động tao cũng đều có 2 + 7 + 12 +...+ 5n - 3 = 

Như vậy 

Ví dụ 8: Tìm $D=lim\sqrt{n^{2}+2n}-\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}$ 

Lời giải:

Ta có: 

D = 

= 

= 

Ví dụ 9: Thực hiện nay tô điểm lại mái ấm của tôi, chú mèo Tom đưa ra quyết định tô color một miếng vải vóc hình vuông vắn cạnh bởi vì 1, mèo Tom tô color xám những hình vuông vắn nhỏ được đặt số theo lần lượt là một trong, 2, 3,., n,.., tường cạnh của hình vuông vắn trước gấp hai cạnh hình vuông vắn sau nó (Giả sử tiến độ tô color của mèo Tom rất có thể ra mắt vô hạn).

a. Xác ấn định u₁,u₂,u₃ và u_n

b. Tính lim $S_{n}$ với S_n=u₁+u₂+u₃+...+u_n

Lời giải:

a. $u_{1}=\frac{1}{4}, u_{2}=\frac{1}{4}.(\frac{1}{4})=\frac{1}{4^{2}},..., u_{n}=\frac{1}{4^{n}}$

b. $lim S_{n}=lim14+142+...+14n=141-14=13$

Ví dụ 10: Tìm $lim(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n})$

Lời giải: 

Tham khảo ngay lập tức một vài dạng bài xích tập luyện thông thường bắt gặp về số lượng giới hạn hàm số với những thầy cô VUIHOC ngay

 Bài viết lách bên trên đang được ra mắt cho những em phần lý thuyết cơ phiên bản và những dạng bài xích về giới hạn của sản phẩm số. Đây là một trong phần kỹ năng khó khăn và cần thiết vô công tác toán 11 nên nhằm đạt được thành phẩm tốt nhất có thể những em học tập rất cần phải nắm vững lý thuyết và tập luyện thêm thắt những dạng bài xích tập luyện. Các em học viên rất có thể truy vấn nền tảng Vuihoc.vn và ĐK thông tin tài khoản nhằm luyện đề ngay lập tức thời điểm hôm nay nhé!

Bài viết lách xem thêm thêm:

• Cấp số nhân
• Cấp số cộng