XÁC SUẤT Y HỌC - ĐẠI HỌC Y HÀ NỘI

Nội dung Text: XÁC SUẤT Y HỌC - ĐẠI HỌC Y HÀ NỘI

1. Page 1 of 47 Chương 1 XÁC SU T Bài 1 T N SU T M C TIÊU 1. Th c hi n ư c tía phép tắc toán t p h p (phép h p, phép tắc kí thác, phép tắc tr ). 2. Tính ư c s lư ng m u ch nh h p l p, ch nh h p ko l p, t h p ko l p và t h p l p. 3. Tính ư c t n su t c a hi n tư ng và nêu ư c ý nghĩa sâu sắc. 1. T Phường H P 1.1. Khái ni m t p h p M i ngư i thư ng trình bày t p h p bàn gh , t p h p s , t p h p th nó thu c, t p h p b nh nhân v.v... T p h p là khái ni m ko xác nh vì thế v nó hi u và th c hi n những phép tắc toán v i t p h p thư ng thông qua cơ hội cho tới m t t p h p. Khi ó t p h p ư c xác nh. Có nhị cơ hội cho tới t p h p: Ho c cho tới list những phân t c a t p h p ho c cho những c tính, tính ch t xác nh m t ph n t thu c t p h p. Thư ng ký hi u những ch A, B, C, ... ch t p h p, những ch x, nó, z,... ch ph n t c a t p h p. A1 = {Danh sách (t viên) t 1}, A2 = {Danh sách l p Y1}, A = {x th c : tho mạn tính ch t Q(x)}. Ph n t x thu c A vi t là x ∈ A. Ph n t x ko thu c B vi t là x ∉ B ho c x ∈B . T p h p tr ng là t p h p ko ch a m t ph n t nào là. Thư ng ký hi u t p h p tr ng là φ. Ví d : A = {x th c : x2 + 1 = 0}, B = {Bác s chuyên nghiệp m tim b nh vi n huy n}, C = {B nh nhân " ao" bên trên 50 tu i}. A, B, C là những t p h p tr ng. T p h p con A là t p h p con cái c a B n u m i ph n t x∈ A u là những ph n t x∈B. Ký hi u: A ⊆ B, c là A bao hàm vô B ho c B ⊇ A, c là B bao hàm A ho c B ch a A. T là t p h p con cái c a l p, l p là t p h p con cái c a kh i. T p h p b nh nhân vô khoa bao hàm vô t p h p b nh nhân toàn vi n. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
2. Page 2 of 47 T p h p b ng nhau. Cho nhị t p h p A và B. N u m i ph n t c a A là nh ng ph n t c a B và ngư c l i m i ph n t c a B cũng là nh ng ph n t c a A thì A = B. ch ng t i u này c n ch ng minh A ⊆ B và B ⊆ A. 1.2. Phép toán t p h p Phép giao A B Cho A, B, C. Ký hi u d u ∩ c là kí thác. Giao c a nhị t p h p A∩B=D D là t p h p sở hữu những ph n t v a thu c A v a thu c B. D Giao c a tía t p h p A ∩ B ∩ C = D D là t p h p sở hữu những ph n t v a thu c A v a thu c B v a thu c C. Chú ý: Phép kí thác sở hữu th m r ng cho tới nhi u t p h p. Thư ng vi t A ∩ B ho c vi t t t là AB. A B Phép h p Cho A, B, C. Ký hi u d u ∪ c là h p. H p c a nhị t p h p A∪B=E D C E là t p h p sở hữu những ph n t ho c thu c A ho c thu c B ho c thu c A và B hoặc E là t p h p sở hữu những ph n t thu c không nhiều nh t m t vô nhị t p h p A, B. H p c a tía t p h p A∪B∪C=E E là t p h p sở hữu những ph n t thu c không nhiều nh t m t vô tía t p h p A, B, C. B A B A E C Phép tr E Cho A, B. Ký hi u A \ B c là A tr B hoặc hi u c a A và B. A \ B = C. C là t p h p sở hữu những ph n t ch thu c A nhưng mà ko thu c B A B C Cho A ⊂ E . E \ A = CE A = A CEA ư c g i là ph n bù c a A vô E hay A E M t s tính ch t file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
3. Page 3 of 47 A ∩ B = B ∩ A, A ∩ A = A, A ∩ φ = φ vì thế φ ⊂ A A ∪ B = B ∪ A, A ∪ A = A, A ∪ φ = A A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 1.3. Các khái ni m khác Tích ecart (R. ecart) Cho A = (x, nó, z), B = (1, 2, 3). Tích ecart c a A và B vi t là A × B. A × B = { (x, 1), (x, 2), ..., (z, 3) }. Tích ecart c a A và B là m t t p h p nhưng mà m i ph n t là m t c p s p th t , ph n t th nh t thu c A, ph n t th nhị thu c B. Như v nó, m t i m vô m t ph ng 0xy là m t ph n t c a t p h p tích R × R. M(x, y) ∈ R × R = R2. M t i m vô không khí tía chi u 0xyz là m t ph n t thu c t p h p tích ecart R × R × R M(x, nó, z) ∈ R × R × R = R3 S phân ho ch m t t p h p Cho E. Chia E trở nên E1, E2, ..., En sao cho tới tho mãn những tính ch t: ư c g i là phân ho ch t p h p E. Th c ch t s phân ho ch là vi c phân chia sao cho tới m i ph n t c a E ch thu c v duy nh t m t t p h p Ei mà thôi. Chia m t l p trở nên 4 t ho c phân chia b nh nhân v những khoa là phân ho ch t p h p. 2. CÔNG TH C M CÁC M U (GI I TÍCH T H P) Cho A = (x1, x2,.., xn) Có từng nào cơ hội l nó k ph n t t A ? S cơ hội l nó hoặc s m u ph thu c vô tính ch t c a m u. M u l p là m u sở hữu ph n t xu t hi n vô m u bên trên m t l n, m u ko l p là m u sở hữu m i ph n t trong m u ch xu t hi n m t l n. Khi thay cho i th t những ph n t vô m u nhưng mà ư c m u m i thì ó là m u sở hữu th t , n u v n là m u cũ thì ó là m u ko th t . Hay trình bày cách tiếp theo, m u sở hữu th t là m u ph thu c th t những ph n t vô m u, ngư c l i là m u ko th t . 2.1. Ch nh h p l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,.., xn). Ch nh h p l p là m u k ph n t sở hữu l p, sở hữu th t l nó t n ph n t c a A. Công th c m k G i s cơ hội l nó m u hoặc s lư ng m u ch nh h p l p là Fn Công th c tính: Fn = n k . Công th c v n úng Lúc k > n. k M t s t nhiên sở hữu 3 ch s là m t m u sở hữu l p, sở hữu th t xây d ng t những ch s 0, 1, ..., 9. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
4. Page 4 of 47 S m u = 9. F2 = 9 × 102 = 900 10 5 X p tuỳ ý 5 b nh nhân vô 3 khoa là m t m u sở hữu l p, sở hữu th t xây d ng t 3 khoa. S m u = F3 = 35 = 243. 2.2. Ch nh h p ko l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,.., xn). Ch nh h p ko l p là m u k ph n t ko l p, sở hữu th t l nó t n ph n t c a A. Công th c m G i s cơ hội l nó m u ch nh h p ko l p là A k n Công th c tính : A k = n(n − 1)...(n − k + 1). n Ký hi u: n! = 1. 2. 3... n và quy ư c 1! = 1, 0! = 1. n! Ak = n (n − k)! Công th c úng Lúc k ≤ n. M t s t nhiên sở hữu 3 ch s không giống nhau là m t m u ko l p, sở hữu th t xây d ng t 10 s 0, 1, …., 9. S 2 m u = 9 × Α9 = 9 × 9 × 8 = 648. X p 3 b nh nhân vô 5 khoa sao cho tới sở hữu nhi u nh t m t ngư i vô khoa là m u g m 3 khoa ko l p, có th t xây d ng t 5 khoa. S m u = Α3 = 5 × 4 × 3 = 60 . 5 Hoán v : cho tới A = (x1, x2,.., xk), m i cơ hội s p x p k ph n t là m t hoán v . x1 x2 x3 ... xk và x2 x1 x3 ... xk là nhị hoán v không giống nhau. V nó hoán v là m u k ph n t ko l p, sở hữu th t l nó t k ph n t . G i s hoán v là Pk tớ sở hữu công th c tính: Pk = k ! Nh n xét : Ch nh h p l p và ch nh h p ko l p là nh ng m u sở hữu th t . 2.3. T h p ko l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,..., xn). T h p ko l p là m u k ph n t ko l p, ko th t l nó t n ph n t c a A. Công th c m G i s cơ hội l nó m u t h p ko l p là C k . Do t h p ko l p là m u ko th t c a k phân t n l nó đi ra cho nên vì thế nhân s t h p ko l p v i k! s ư c s ch nh h p ko l p. Công th c: Ak n! Ck = n n = , (k ≤ n) k! (n − k)! k! Nh n xét : C k = Cn −k n n file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
5. Page 5 of 47 – Ch n 5 ch p hành chi oàn vô s 8 ng c và c là l nó m u ko l p, ko th t 5 8! S cơ hội ch n : C8 = = 56 . (8 − 5)! 5! – Gia ình 3 con cái vô ó sở hữu 2 gái là m u ko l p, ko th t , l nó 2 gái vô s 3 gái. S lo sợ i gia 2 ình: C3 = 3 . L p lu n tương t theo đòi s đàn ông cũng ư c k t qu bên trên. 2.4. T h p l p nh nghĩa Cho A = (x1, x2,..., xn). T h p l p là m u k ph n t sở hữu l p, ko th t l nó t n ph n t c a A. Công th c m N u m u l p k ph n t thì ch tăng k –1 ph n t l p vô A d n n cơ hội l nó m u k ph n t ko l p, không th t t n + k – 1 ph n t . Ck + k −1 = ( n + k − 1) ! Công th c tính: n (n − 1)! k! Khi k > n công th c cũng úng. – ơn th c b c 5 l p t a và b là m u sở hữu l p, ko th t . 6! S ơn th c là: C5 +5−1 = 2 =6 1! 5! – Gia ình 4 con cái là m u sở hữu l p, ko th t l p t nhị ph n t T (trai), G (gái). 5! C4+ 4−1 = 2 =5 1! 4! Nh n xét: M u t h p ko l p và m u t h p l p là nh ng m u ko th t . Sau ây xét m t ví d t ng quát tháo những lo sợ i m u. Ví d : Cho A = (1, 2, 3, 4). a) Có từng nào s t nhiên sở hữu 3 ch s l p t 4 s ã cho tới ? b) Có từng nào s t nhiên sở hữu 3 ch s không giống nhau l p t 4 s ã cho? c) Có từng nào group sở hữu 3 ch s không giống nhau l p t 4 s ã cho tới ? d) Có từng nào group sở hữu 3 ch s l p t 4 s ã cho tới ? Gi i: a) S t nhiên sở hữu 3 ch s là m u sở hữu l p, sở hữu th t l p t 4 s . 3 S m u b ng F4 : F4 = 43 = 64 3 b) S t nhiên sở hữu 3 ch s không giống nhau là m u ko l p, sở hữu th t l p t 4 s . file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
6. Page 6 of 47 4! S m u b ng A 3 : 4 A3 = 4 = 24 (4 − 3)! c) Nhóm sở hữu 3 ch s không giống nhau là m u ko l p, ko th t l p t 4 s . 4! S m u b ng C3 : 4 C3 = 4 =4 1! 3! d) Nhóm sở hữu 3 ch s là m u sở hữu l p, ko th t l p t 4 s . 6! S m u b ng C3 +3−1 : C3 +3−1 = 4 4 = trăng tròn . 3! 3! Nh n xét: F4 − A 3 = 40 . ó là những m u sở hữu l p th t s và sở hữu th t . 3 4 2.5. Khai tri n nh th c Newton (a + b) n = C0 a 0 b n + C1 a1 b n −1 + ... + C n a n b0 n n n n = ∑ Ck a k bn −k n k =0 i tầm quan trọng a cho tới b công th c cũng úng. L nó a = b = 1, sở hữu công th c 2 n = C0 + C1 + ... + C n n n n Cho p + q = 1, sở hữu công th c : n 1 = (p + q) n = ∑ Cn p k q n −k k k =0 3. T N SU T 3.1. Các khái ni m hi u và th c hi n những phép tắc toán i v i t n su t rưa rứa xác su t về sau, c n xây d ng m t s khái ni m. Phép th là group i u ki n sở hữu th l p i l p l i nhi u l n vô nằm trong i u ki n. Thư ng ký hi u phép th b i những ch ε, α, β .... Khi nghiên c u, o chi u cao, thực hiện xét ngờ vực m, ch n ân oán b nh, i u tr b nh ... là các phép tắc th . Hi n tư ng hoặc bi n c là k t qu c a m t phép tắc th . Các hi n tư ng ư c ký hi u b i những ch A, B, C ... Xét ngờ vực m dương tính: A, ch n ân oán sở hữu b nh: B, i u tr kh i: K, là những hi n tư ng hoặc g p vô nó. Khi th c hi n những phép tắc th nhi u l n, s l n xu t hi n c a m t hi n tư ng ư c g i là t n s xu t hi n. T n s ký hi u b i m. Khi nghiên c u m t i tư ng, ko nghiên c u m i m t nhưng mà ch nghiên c u m t s c tính hoặc tính ch t nào là ó. D u hi u nghiên c u là c tính hoặc tính ch t c n nghiên c u. Có th phân chia d u hi u nghiên c u file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
7. Page 7 of 47 đi ra thực hiện nhị lo sợ i: d u hi u v ch t và d u hi u v lư ng. D u hi u v ch t ư c nghiên c u kh năng xu t hi n, còn d u hi u v lư ng ư c hư hỏng ng t i vi c tính những tham lam s m u. D a vô kh năng xu t hi n phân chia các hi n tư ng trở nên 3 lo sợ i. Hi n tư ng ng u nhiên là hi n tư ng ko bi t trư c sở hữu x nó đi ra hay là không Lúc th c hi n phép tắc th . S xu t hi n c a hi n tư ng ng u nhiên ph thu c vô nhi u nó u t nhưng mà không tồn tại nó u t ch nó u quy t nh s xu t hi n ó. Ký hi u những ch A, B, C … ch những hi n tư ng ng u nhiên. Hi n tư ng ch c ch n xu t hi n là hi n tư ng luôn luôn trực tiếp x nó đi ra Lúc th c hi n phép tắc th . Ký hi u Ω ch hi n tư ng ch c ch n x nó đi ra. Hi n tư ng tr ng, ký hi u là φ, là hi n tư ng nh t nh ko x nó đi ra Lúc th c hi n phép tắc th . Khám b nh cho tới m t ngư i sở hữu Lúc ngư i ó b b nh, sở hữu lúc không b b nh ; ch a b nh sở hữu Lúc ch c ch n kh i, sở hữu lúc không bao gi kh i. Gi a những hi n tư ng sở hữu th ph thu c nhau hay là không ph thu c nhau. Hi n tư ng A xung kh c v i hi n tư ng B n u như A và B ko ng th i xu t hi n. Khi ó A ∩ B = φ tuơng ương v i A và B xung kh c v i nhau. E1, E2,..., En ư c g i là group nó những hi n tư ng n u: Ei ≠ φ ∀i = 1,n , Ei ∩ Ej = φ ∀i ≠ j n = 1,n , U E i = w . i=1 Như v nó Lúc phân ho ch Ω trở nên E1, E2, ..., En s ư c group nó những hi n tư ng. Khi A, B l p trở nên group nó nhị hi n tư ng thì A, B ư c g i là 2 hi n tư ng i l p nhau. Khi ó B ư c ký hi u là Α và vi t là A, A . Hai hi n tư ng A và B ư c g i là c l p v i nhau n u A xu t hi n hay là không xu t hi n cũng không nh hư hỏng ng n B xu t hi n hay là không xu t hi n và ngư c l i. Hai hi n tư ng xung kh c v i nhau thì ko c l p v i nhau. Cũng như v nó nhị hi n tư ng cl pv i nhau thì ko xung kh c v i nhau. Ch a b nh kh i ho c ko kh i, ch n ân oán sở hữu b nh ho c không tồn tại b nh, sinh đàn ông ho c sinh con gái là những c p hi n tư ng i l p nhau. Ngày ni ko th d a vô l n này sinh đàn ông thì suy đi ra l n sau s sinh đàn ông ho c gái. Như v nó sinh đàn ông hoặc gái gi a những l n sinh không giống nhau c l p v i nhau. 3.2. T n su t nh nghĩa Th c hi n phép tắc th ε n l n c l p, hi n tư ng A xu t hi n m l n. Ký hi u ω(A) là t n su t xu t hi n A. m ω(A) = . T n su t là t l gi a s l n xu t hi n A và s l n th c hi n phép tắc th . n ω là i lư ng không tồn tại ơn v , ư c vi t dư i d ng % hoặc ‰ 0 ≤ ω(A) ≤ 1, ω(A) cho tới bi t kh năng xu t hi n c a A Lúc th c hi n phép tắc th m t l n ω(φ) = 0. Khi ω(A) = 0 ko ch c A = φ, ω(Ω) = 1. Khi ω(B) = 1 ko ch c B = Ω. Tính ch t file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
8. Page 8 of 47 Khi n thay cho i, m thay cho i thì ω thay cho i. Khi n l n, ω thay cho i không nhiều. Tính thay cho i không nhiều c a ω Lúc n l n ư c g i là tính n nh c a ω. Buffon tung ng xu 4040 l n th nó ω(s) = 50,79%, Pearson tung ng xu 12000 l n th nó ω(s) = 50,16%, Pearson tung ng xu 24.000 l n th nó ω(s) = 50,05%, vô ó s ký hi u là hi n tư ng m t s p ng xu xu t hi n. ω(A) ≥ 0,95 : A h u như ch c ch n xu t hi n Lúc th c hi n phép tắc th ω(B) ≤ 0,05 : B h u như ch c ch n ko xu t hi n Lúc th c hi n phép tắc th . ó là những quy t nh d a vô ao ước mu n càng úng nhi u càng t t và càng sai không nhiều càng t t nhưng mà không ph i là những nguyên tắc hoặc nh lý luôn luôn trực tiếp úng. B nh nhân n nhà pha s m (khi chưa xuất hiện tri u ch ng c h u) ư c ch a theo đòi b nh hoặc g p nh t th i gian ó. B nh nhân b b ng bên trên 70% di n tích domain authority, t II tr lên sở hữu t l t vong cao tuy vậy v n ư c c u ch a tích c c v i hy v ng c u ư c m t ngư i vô s r t nhi u ngư i ko c u ư c. Các ph n ví d N ng trộn loãng c a d ch (‰) ko là t n su t. s tr ch t : ko là t n su t 1000 tr s ng sót T l tiêm ch ng m r ng: T nh A t 99,8% : là t n su t. T nh B t 101% : ko là t n su t. T nh C t 102% : ko là t n su t. Chi u cao ng i : ko là xác su t Chi u cao ng CÂU H I T LƯ NG GIÁ M i bài xích lư ng giá chỉ g m 4 câu. Làm bài xích vô nửa tiếng. M i câu ch ch n m t k t qu úng. úng 4 câu: Gi i (10 i m), úng 3 câu: Khá (7 i m), úng 2 câu: t (5 i m), úng 1 câu: Không t (3 i m). Không úng câu nào: Kém (0 i m). Hãy ch n m t k t qu úng: 1. Khoa n i sở hữu 6 chưng s n , 4 chưng s phái nam. Khoa ngo i sở hữu 8 chưng s phái nam. L p t công tác làm việc 3 ngư i c n sở hữu phái nam, sở hữu n , sở hữu n i khoa, sở hữu ngo i khoa. H i sở hữu từng nào cách? K t qu : A. 576 B. 480 C. 816 D. 360 E. s không giống. 2. M t t SV sở hữu 8 phái nam, 7 n . Chia trở nên 3 group tr c ng th i t i 3 b nh vi n A, B, C. H i file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
9. Page 9 of 47 sở hữu từng nào cơ hội cắt cử n u: b nh vi n A c n 3 phái nam 2 n , b nh vi n B c n 5 ngư i vô ó có ít nh t 4 phái nam, s còn l i n b nh vi n C ? K t qu : A. 30576 B. 61152 C. 29400 D. 1176 E. s không giống. 3. Có 4 thu c lo sợ i I và 3 thu c lo sợ i II. H i sở hữu từng nào cơ hội i u tr cho tới 5 ngư i b b nh A, n u m i ngư i b b nh A c n 2 thu c lo sợ i I và 1 thu c lo sợ i II ? K t qu : A. 45 B. 59.049 C. 90 D. 1.889.568 E. s không giống. 4. Cho ng u nhiên ng th i 6 kháng th vô 6 kháng vẹn toàn (khi ko ghi nhãn) tìm hiểu những kháng th , kháng vẹn toàn nằm trong c p. Gi s không tồn tại dừng k t chéo cánh, h i sở hữu từng nào trư ng h p x nó đi ra n u ch sở hữu 1 c p dừng k t ? K t qu : A. 135 B. 265 C. 264 D. 455 E. s không giống. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
10. Page 10 of 47 Bài 2 XÁC SU T M C TIÊU 1. Trình bày ư c nh nghĩa ng kh năng và nh nghĩa th ng kê c a xác su t. 2. Trình bày ư c những công th c nhân xác su t, c ng xác su t, xác su t toàn ph n và xác su t Bayes. 3. Gi i ư c m t s Việc xác su t vô nó d a vô những công th c xác su t nêu bên trên. Trư c Lúc th c hi n phép tắc th , ân oán coi m t hi n tư ng ng u nhiên nào là ó sở hữu x nó đi ra hay là không là m t vi c r t trở ngại. Khi th c hi n phép tắc th nhi u l n, bi t kh năng xu t hi n c a hi n tư ng, t ó ân oán s xu t hi n c a hi n tư ng d dàng rộng lớn. Kh năng xu t hi n hi n tư ng A là xác su t xu t hi n A, ký hi u là P(A), là h ng s p n m gi a 0 và 1, t n t i m t cơ hội khách hàng quan liêu, ko ph thu c vô ý mu n ch quan liêu c a con cái ngư i. 1. NH NGHĨA 1.1. nh nghĩa ng kh năng Gi s sở hữu m t bình c u ch a n qu c u trọn vẹn gi ng nhau. Trong n qu c u sở hữu m qu sở hữu d u. Xáo tr n u những qu c u vào phía trong bình và l nó ng u nhiên m t qu . G i A là hi n tư ng l nó ư c qu sở hữu d u. Xác su t xu t hi n hi n tư ng A là t l gi a s trư ng h p thu n l i cho tới A và t ng s những trư ng h p có th x nó ra m P(A) = . n Xác su t úng Lúc những qu c u sở hữu nằm trong kh năng ư c l nó. Vì v nó nh nghĩa bên trên ư c g i là nh nghĩa ng kh năng. C n xem xét là những công th c tính xác su t ư c xây d ng bên trên cơ s ng kh năng. Xác su t tính ư c s úng n, đúng chuẩn ch Lúc i u ki n bên trên tho mãn. 1.2. nh nghĩa th ng kê Th c hi n phép tắc th ε n l n c l p, hi n tư ng A xu t hi n m l n m P(A) ≈ ω(A) = . n Khi n l n, ω (A) n nh, xác su t đó là giá chỉ tr n nh c a t n su t. L nó t n su t gán cho tới xác su t ư c g i là ư c lư ng i m c a xác su t. Ư c lư ng xác su t b ng t n su t hỗ trợ cho vi c s d ng r t thu n ti n tuy nhiên sở hữu th sơ sót. Gi a xác su t, h ng s xác nh và t n su t sở hữu s không giống bi t, ó đó là sai s δ1 ω(1 − ω) P(A) − ω(A) ≤ δ1 v i δ1 = t(α / 2) n vô ó t( α 2 ) ph thu c vô α ư c tra vô b ng chu n t c (b ng 1), n là s l n th c hi n phép tắc th , t(0,05/2) = 1,96. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
11. Page 11 of 47 D n n: ω – δ1 ≤ P(A) ≤ ω + δ1, ω ± δ1 ư c g i là kho ng tin cậy c nó m c 1 – α c a P(A). Khi α bé nhỏ, m c tin c nó cao tuy vậy kho ng ư c lư ng l n ko thu n ti n cho tới vi c s d ng. Nên ch n α phù h p v i bài xích toán th c ti n. Ví d : 1. Khám 7534 tr t 5 – 15 tu i th nó 19 tr b th p tim. Hãy ánh giá chỉ t l th p tim. G i A là hi n tư ng th p tim 19 Ư c lư ng i m: P(A) ≈ ω(A) = = 0,0025. 7534 0,0025 × 0,9975 δ1 = 1,96 = 0,0011 , l nó α = 0,05. 7534 Ư c lư ng kho ng: P(A) ∈ ω ± δ1 ⇒ 0,0014 ≤ P(A) ≤ 0,0036 Như v nó t l th p tim không nhiều nh t là một,4 ‰., nhi u nh t là 3,6 ‰ 2. i u tra năm 1989 t i m t a phương th nó 48,53% tr b thâm thúy răng. i u tr và súc h ng b ng Fluo 0,2% vô 8 năm, i u tra l i 1250 tr ban u th nó 181 tr thâm thúy răng. Hãy ánh giá chỉ t l tr thâm thúy răng sau 8 năm i u tr và súc h ng. G i A là hi n tư ng tr thâm thúy răng 181 Ư c lư ng i m: P(A) ≈ ω(A) = = 0,1448. 1250 0,1448 × 0,8552 δ1 = 1,96 = 0,0195 , l nó α = 0,05. 1250 Ư c lư ng kho ng: P(A) ∈ ω ± δ1 ⇒ 0,1253 ≤ P(A) ≤ 0,1643. Sau 8 năm i u tr và chống b nh, t l thâm thúy răng không nhiều nh t là 12,53%, nhi u nh t là 16,43%. 2. CÔNG TH C TÍNH XÁC SU T 2.1. P(Ω) = 1, P(φ) = 0 2.2. Công th c nhân xác su t Xác su t sở hữu i u ki n Trong những công th c tính xác su t, thư ng g p cơ hội vi t : Phường (A/B), P(B/A), P(A/BC). Phường (A/B) là xác su t xu t hi n hi n tư ng A v i i u ki n hi n tư ng B ã x nó đi ra. Phường (B/A) là xác su t xu t hi n hi n tư ng B v i i u ki n hi n tư ng A ã x nó đi ra. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
12. Page 12 of 47 Phường (A/BC) là xác su t xu t hi n hi n tư ng A v i i u ki n hi n tư ng B và C ã x nó đi ra. Các xác su t bên trên ư c g i là những xác su t sở hữu i u ki n. Trong ám ông thư ng cho tới t l b b nh trình bày công cộng c a c phái nam và n , ó là xác su t ko i u ki n, còn t l b b nh c a riêng rẽ phái nam, t l b b nh c a riêng rẽ n là những xác su t sở hữu i u ki n. Làm xét ngờ vực m ch n ân oán b nh s thu ư c t l dương tính c a group b b nh và t l âm tính c a nhóm ko b b nh. ó là những xác su t sở hữu i u ki n. N u ko phân bi t b b nh hay là không b b nh tớ có các xác su t dương tính c a c b b nh và ko b b nh, xác su t âm tính c a c b b nh và ko b b nh c a xét ngờ vực m. Chúng là những xác su t ko i u ki n. A, B, C là những hi n tư ng ko cl p P(A ∩ B) = P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) P(A ∩ B ∩ C) = P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = ... = P(ACB) = P(A) P(C/A) P(B/AC) Có th m r ng công th c cho tới nhi u hi n tư ng. Th t v nó, t m t nghiên c u v i 2 phép tắc th α và β, thu ư c k t qu sau: m11 P(AB) = n m 01 m11 m11 P(A)P(B / A) = ⋅ = n m 01 n m10 m11 m11 P(B)P ( A / B ) = ⋅ = . n m10 n i u ó ch ng t P(AB) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A / B) A, B, C là những hi n tư ng c l p P(A ∩ B) = P(AB) = P(A)P(B) . P(A ∩ B ∩ C) = P(ABC) = P(A)P(B)P(C) . Do những hi n tư ng cl pd n n: Phường ( A / B ) = P(A), Phường ( B / A ) = P(B), Phường ( A / BC ) = P(A) . Có th trình bày Lúc những hi n tư ng c l p thì xác su t c a kí thác những hi n tư ng b ng tích những xác su t c a t ng hi n tư ng. 2.3. Công th c c ng xác su t file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
13. Page 13 of 47 A, B, C là những hi n tư ng ng u nhiên P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Nh n xét: S hi n tư ng l thì xác su t sở hữu d u +, S hi n tư ng ch n thì xác su t sở hữu d u –. D a vô nh n xét, sở hữu th m r ng công th c cho tới n hi n tư ng. A, B, C xung kh c t ng ôi P(A ∪B) = P(A+B) = P(A) + P(B), P(A ∪ B ∪ C) = P(A+B + C) = P(A) + P(B) + P(C). Do những hi n tư ng xung kh c t ng thiu nên: P(AB) = P(AC) = P(BC) = P(φ) = 0 P(ABC) = P(φ.C) = P(φ) = 0. Có th trình bày Lúc những hi n tư ng xung kh c t ng thiu thì xác su t c a t ng những hi n tư ng b ng t ng những xác su t c a t ng hi n tư ng. A, A nhị hi n tư ng il p P(Ω) = P(A + A ) = P(A) + P( A ) = 1 ⇔ P( A ) = 1 – P(A). Ví d : 1. T i m t a phương sở hữu 5000 ngư i, i u tra th nó 510 ngư i b s t rét. Trong s s t rét sở hữu 15 ngư i s t rét ác tính. Trong s s t rét ác tính sở hữu 5 ngư i ch t. a) Tìm t l s t rét thư ng. b) Tìm t l ch t c a s t rét ác tính. Gi i: G i T là s t rét thư ng. A là s t rét ác tính C là ch t 510 − 15 a) P(T) = = 0,099 5000 5 b) P(C / A) = = 0,333 . 15 5 C n phân bi t v i P(C) = = 0,001 . 5000 5 P(C / S) = = 0,0098 510 vô ó S là s t rét trình bày công cộng. 2. Xác su t sinh đàn ông b ng 0,514. a) Tìm xác su t sinh b ng ư c đàn ông l n sinh th 4. b) Tìm xác su t sinh ư c 3 con cái u là gái. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
14. Page 14 of 47 c) Tìm xác su t sinh ư c 3 con cái sở hữu không nhiều nh t m t gái. Gi i: G i Ti là sinh đàn ông l n i. Gi là sinh đàn bà l n i. A4 là sinh b ng ư c trai l n 4. B là sinh ư c 3 đàn bà. C là sinh ư c 3 con cái sở hữu không nhiều nh t m t gái. a) P(A4) = P(G1 G2 G3 T4) = P(G1) P(G2) P(G3) P(T4) = 0,4863 x 0,514 = 0,059. b) P(B) = P(G1 G2 G3) = P(G1) P(G2) P(G3) = 0,4863 = 0,115. c) P(C) = P(G1 ∪ G2 ∪ G3) = p1 + p2 + p3 = 1 – p0 = 1 – P(T1 T2 T3) = 1 – P(T1) P(T2) P(T3) = 1 – 0,5143 = 0,864, vô ó pi là xác su t sinh 3 con cái sở hữu i là gái. 3. Trong m t h p thu c c p c u sở hữu 100 ng thu c tiêm, vô ó sở hữu 10 ng Atropin. L nó ng u nhiên l n lư t 3 ng thu c.Tìm xác su t sao cho tới l nó ư c: a) 3 ng Atropin. b) 2 ng Atropin. Gi i: G i Ai là l nó ư c ng Atropin l n i. A là l nó ư c 3 ng Atropin. B là l nó 3 ng ư c 2 ng Atropin. a) P(A) = P(A1 A 2 A3 ) = P(A1 ) P(A 2 / A1 ) P(A 3 / A1 A 2 ) 10 9 8 = × × = 0,0007 100 99 98 b) Phường ( B ) = Phường (A1 A 2 A 3 + A1 A 2 A3 + A1 A 2 A3 ) = Phường (A1 A 2 A3 ) + Phường (A1 A 2 A 3 ) + Phường ( A1 A 2 A3 ) = P(A1 ) × P(A 2 / A1 ) × P(A3 / A1A 2 ) + P(A1 ) × P(A 2 / A1 ) × P(A 3 / A1A 2 ) + ... 10 9 90 10 90 9 90 10 9 = × × + × × + × × = 0,025 100 99 98 100 99 98 100 99 98 Có th tính cách tiếp theo. L nó m u ko l p, ko th t là t h p ko l p 3 C10 C10 × C1 2 90 P(A) = 3 = 0,0007, P(B) = 3 = 0,025 C100 C100 Nh n xét : P(A), P(B) r t nh cho nên vì thế ko ư c l nó thu c ng u nhiên. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
15. Page 15 of 47 4. Ba chưng sĩ c l p nhau nhà pha b nh. Xác su t ch n ân oán sai c a những chưng sĩ tương ng b ng 0,05, 0,1 và 0,15. Ba ngư i ã nhà pha cho tới m t b nh nhân. Tìm xác su t sao cho a) Không ai ch n ân oán sai. b) Không ai ch n ân oán úng. c) Ít nh t m t ngư i ch n ân oán úng. Gi i: G i Ai là chưng sĩ th i ch n ân oán úng. A là không một ai ch n ân oán sai ; B là không một ai ch n ân oán úng ; C là không nhiều nh t m t ngư i ch n ân oán úng. a) P(A) = Phường (A1 A2 A3 ) = Phường (A1 ) Phường (A2 ) Phường ( A3 ) = 0,95 x 0,9 x 0,85 = 0,72675. b) P(B) = Phường ( A1 A 2 A 3 ) = Phường ( A 1) Phường ( A 2 ) Phường ( A3 ) = 0,05 x 0,1 x 0,15 = 0,00075. c) P(C) = Phường (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = p1 + p2 + p3 , vô ó pi là xác su t sở hữu i ngư i úng. Phường (C) = 1 − Phường ( A1 A 2 A 3 ) = 1 − 0,00075 = 0,99925 . Nh n xét: Sau h i ch n thư ng i u tr theo đòi ch n ân oán c a s vượt lên trước cung cấp những chưng sĩ n u trình những chưng sĩ ng u. Ngư c l i, s i u tr theo đòi ch n ân oán c a ngư i gi i nh t. 5. M t chưng sĩ sở hữu kh năng xác nh úng tri u ch ng v i xác su t 0,9. Kh năng ch n ân oán úng b nh v i i u ki n ã xác nh úng tri u ch ng b ng 0,8. Khi i u tr , m c mặc dù ã xác nh úng tri u ch ng và ch n ân oán úng b nh, kh năng kh i b ng 0,95. Tìm xác su t ko kh i c a ngư i b nh Lúc nhà pha và i u tr chưng sĩ bên trên. Gi i: G i T là xác nh úng tri u ch ng. B là ch n ân oán úng b nh. K là i u tr kh i. P(T) = 0,9 P(B/T) = 0,8 P(K/TB) = 0,95 P(K) = P(TBK) = P(T) P(B/T) P(K/TB) = 0,9 × 0,8 × 0,95 = 0,684 P( K ) = 1 – P(K) = 1 – 0,684 = 0,316. Chú ý: Trong th c t lâm sàng sở hữu trư ng h p ch n ân oán sai b nh ho c ch n ân oán ko đi ra b nh nhưng mà i u tr kh i. i u này nên quan liêu ni m là r t hi m g p. Có chưng sĩ cho tới r ng ch sở hữu kh năng ch n ân oán úng b nh 95% những trư ng h p tuy nhiên m b o r ng kh năng ch a kh i những b nh nhân n nhà pha và i u tr 99% những trư ng h p. i u này còn có úng ko ? 2.4. Công th c xác su t toàn ph n Gi s A là m t hi n tư ng ng u nhiên nào là nó, Lúc tính P(A) theo đòi cách thức ng kh năng nhưng không tính ư c. C n xây d ng công th c tính. Gi s E1, E2, …, En là group nó những hi n tư ng, nghĩa là: n E i ≠ φ ∀i = 1, n , E i ∩ E j = φ ∀i ≠ j = 1,n , ∪ E i = Ω . i =1 file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
16. Page 16 of 47 n n Khi ó: A = A ∩ Ω = A ∩ ( ∪ E i ) = ∪ (A ∩ E i ) i =1 i =1 n  n Do ó: P(A) = Phường  ∪ (A ∩ Ei )  = ∑ P(A ∩ Ei ) i =1  i =1 n V nó P(A) = ∑ P(Ei ) P(A / Ei ) i =1 Công th c bên trên ư c g i là công th c xác su t toàn ph n. Mu n tìm hiểu xác su t P(A) c n l nó t ng những xác su t t ng ph n c a A ∩ Ei , i = 1,n . Công th c bên trên cũng ư c hi u là xác su t ng kh năng ho c là xác su t khoảng sở hữu tr ng lư ng c a các xác su t P(A/Ei) v i i = 1,n . 2.5. Công th c xác su t Bayes P(A ∩ E i ) = P(A).P(E i / A) = P(E i ) P(A / E i ) N u P(A) ≠ 0, d n n P(E i ) P(A / E i ) P(E i / A) = n ∑ P(Ei ) P(A / Ei ) i =1 P(Ei ) P(A / Ei ) V nó P(Ei / A) = i= 1,n. P(A) Công th c bên trên bởi Bayes l p đi ra nên có tên ông. Bên cạnh đó, bởi d ng c a công th c nên cũng ư c g i là công th c xác su t những gi đua t. D n n ( ) Phường A / B = 1 – Phường ( A / B) ( ) Phường B / A = 1 – Phường (B / A) n Chú ý: Do ∑ P(Ei / A) = 1 nên: i =1 n n P(A) = ∑ P(A ∩ E i ) = ∑ P(A) × P(Ei / A) = P(A) i =1 i =1 V nó ko tính ư c P(A) theo đòi cách thức này. Ví d : file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
17. Page 17 of 47 6. i u tr tương ng phương pháp1, cách thức 2, cách thức 3 cho tới 5000, 3000 và 2000 b nh nhân. Xác su t kh i c a những cách thức tương ng b ng 0,85; 0,9 và 0,95. a) Tìm xác su t kh i c a tía cách thức Lúc i u tr riêng rẽ r t ng cách thức cho tới b nh nhân. b) i u tr m t vô tía cách thức cho tới b nh nhân ã kh i, tìm hiểu t l i u tr c a t ng cách thức. c) Tìm xác su t kh i Lúc i u tr ph i h p tía cách thức cho tới b nh nhân. Gi i: G i Ei là i u tr cách thức th i cho tới b nh nhân. i = 1,3 . A là i u tr kh i. T ng s b nh nhân i u tr tía cách thức b ng 10.000 ngư i. 5000 3000 2000 P(E1 ) = = 0,5 P(E 2 ) = = 0,3 P(E 3 ) = = 0, 2 10.000 10.000 10.000 P(A / E1 ) = 0,85 P(A / E 2 ) = 0,9 P(A / E3 ) = 0,95 . 3 a) P(A) = ∑ P(Ei ) P(A / Ei ) i =1 = 0,5 × 0,85 + 0,3 × 0,9 + 0,2 × 0,95 = 0,885. Có th hi u P(A) là xác su t ng kh năng, là t l gi a s ngư i kh i Lúc i u tr b i tía phương pháp và t ng s ngư i i u tr c a tía cách thức. Cũng sở hữu th hi u P(A) là xác su t khoảng có tr ng lư ng c a những xác su t kh i c a t ng cách thức. P(E1 ) P(A / E1 ) 0,5 × 0,85 b) P(E1 / A) = = = 0, 48 P(A) 0,885 P(E 2 ) P(A / E 2 ) 0,3 × 0,9 P(E 2 / A) = = = 0,305 P(A) 0,885 P(E 3 ) P(A / E 3 ) 0,2 × 0,95 P(E3 / A) = = = 0, 215 P(A) 0,885 3 Nh n xét: ∑ Phường ( Ei / A ) = 0,48 + 0,305 + 0, 215 = 1 . i =1 c) i thương hiệu g i những hi n tư ng đo lường thu n ti n rộng lớn. G i Ai là hi n tư ng kh i c a cách thức i u tr th i, i = 1,3 . i u tr ph i h p tía cách thức thì m t cách thức i u tr kh i hoặc nhị cách thức i u tr kh i hay c tía cách thức i u tr kh i, b nh nhân s kh i. Hay trình bày cách tiếp theo b nh nhân s kh i Lúc không nhiều nh t m t trong tía cách thức i u tr kh i. G i F là hi n tư ng kh i Lúc i u tr ph i h p tía cách thức. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
18. Page 18 of 47 P(F) = Phường (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = p1 + p2 + p3 , vô ó pi là xác su t kh i Lúc i u tr 3 cách thức sở hữu i cách thức kh i P(F) = 1 − P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 − P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 1 – 0,15 × 0,1 × 0,05 = 0,99925. 7. T l b nh B t i m t a phương b ng 0,02. Dùng m t ph n ng canh ty ch n ân oán, n u ngư i b b nh thì ph n ng dương tính 95%; n u ngư i ko b b nh thì ph n ng dương tính 10%. a) Tìm xác su t dương tính c a ph n ng. b) M t ngư i thực hiện ph n ng th nó dương tính, tìm hiểu xác su t sao cho tới ó là ngư i b b nh. c) Tìm xác su t ch n ân oán úng c a ph n ng. Gi i: G i α là phép tắc th dương tính A hoặc âm tính A β là phép tắc th xác nh sở hữu b nh B hay là không b nh B ε là phép tắc th xác nh úng hoặc sai S T ch c nó t th gi i quy ư c g i: Phường ( A / B) là nh nó. ( Phường A/B ) là c hi u. P(B / A) là giá chỉ tr c a ph n ng dương tính. ( Phường B/ A ) là giá chỉ tr c a ph n ng âm tính. P( ) là giá chỉ tr c a ph n ng. P( ) = P(AB) + P( Α B ) = P(B)P(A / B) + P(B)P(A / B) = P( Α)P(B / A) + P( Α)P(B / A) Như v nó giá chỉ tr c a ph n ng là giá chỉ tr khoảng c a nh nó và c hi u ho c giá chỉ tr khoảng c a giá tr dương tính và giá chỉ tr âm tính. P(B) = 0,02 P(A/B) = 0,95 P(A/ B ) = 0,1 a) P( Α) = P(B)P(A / B) + P(B)P(A / B) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,1 = 0,117. P(B)P(A / B) 0,02 × 0,95 b) P(B / A) = = = 0,162 P( Α) 0,117 c) P( ) = P(B)P(A / B) + P(B)P(A / B) file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
19. Page 19 of 47 = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,9 = 0,901. 8. T i m t a phương t l b b nh B b ng 0,05. Dùng m t ph n ng canh ty ch n ân oán, n u ph n ng dương tính thì b b nh 20%; n u ph n ng âm tính thì b b nh 1,25%. a) Tìm xác su t dương tính c a ph n ng. b) Tìm nh nó, c hi u c a ph n ng. c) Tìm xác su t sai c a ph n ng. Gi i: Ký hi u những hi n tư ng như ví d 7. a) P(B) = 0,05 P(B/A) = 0,2 P(B / A) = 0,0125 P(B) = P(A).P(B/A) + P(A)P(B / A) = P(A).P(B/A) + [1– P(A)]. P(B / A) 0,05 = P(A) × 0,2 + [1– P(A)] × 0,0125 0,05 − 0,0125 P(A) = = 0, 2 0, 2 − 0,0125 P(A)P(B / A) 0, 2 × 0, 2 b) P(A / B) = = = 0,8 P(B) 0,05 P(A)P(B / A) 0,8 × 0,9875 P(A / B) = = = 0,832 P(B) 0,95 c) P(S) = P(AB) + P(AB) = P(A) P(B / A) + P(A) P(B / A ) = 0, 2 × 0,8 + 0,8 × 0,0125 = 0,17 Nh n xét: T công th c xác su t toàn ph n c a P(B), gi i ngư c l i s tìm hiểu ư c P(A). Có th tính P(S) d a vô P( ). gi i những Việc xác su t trở ngại, c n ck u bài xích, t thương hiệu những hi n tư ng và s d ng công th c tính xác su t phù h p v i bài xích ã cho tới. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012
20. Page trăng tròn of 47 CÂU H I T LƯ NG GIÁ Hãy ch n m t k t qu úng. 1. i u tr 1 b nh b i cách thức I, II, III, IV th nó t l kh i tương ng b ng 0,6; 0,7; 0,8 và 0,85. i u tr cho tới 4 b nh nhân, m i ngư i m t cơ hội, tìm hiểu xác su t sao cho tới sở hữu t 1 n 3 ngư i kh i. K t qu : A. 0,0486 B. 0,9964 C. 0,2892 D. 0,7108 E. s khác 2. T l i u tr cách thức I, II, III, IV tương ng b ng : 0,2; 0,25; 0,25; 0,3. Xác su t kh i c a các phương pháp tương ng b ng : 0,75; 0,82; 0,84; 0,8. M t ngư i i u tr m t vô 4 cách thức ã kh i, tìm xác su t sao cho tới ngư i ó ư c i u tr kh i b i cách thức III. K t qu : A. 0,18875 B. 0,8 C. 0,2625 D. 0,31125 E. s khác 3. Dùng m t ph n ng ch n ân oán b nh, ph n ng sở hữu nh nó b ng 0,84 và giá chỉ tr âm tính b ng 0,968. Bi t giá chỉ tr c a ph n ng b ng 0,852, tìm hiểu giá chỉ tr dương tính. K t qu : A. 0,854.118 B. 0,504 C. 0,25 D. 0,852 E. s không giống. 4. Ki m tra l i nh ng ngư i ch n ân oán b b nh b nh vi n I, II tuy rằng n dư i th nó tương ng 90% và 96% b b nh. Xác su t kh i trư c ki m tra c a 2 b nh vi n tương ng b ng 0,955 và 0,94. Tìm xác su t kh i c a nhị b nh vi n sau ki m tra, bi t r ng s ngư i b b nh sau ki m tra c a b nh vi n I b ng 5/3 b nh vi n II. K t qu : A. 0,945.3125 B. 0,875.5875 C. 0,953.0875 D. 0,949.375 E. s không giống. file://C:\WINDOWS\Temp\ttwyprsdrx\Chapter1.htm 12/10/2012