Công thức lượng giác và cách giải bài tập (hay, chi tiết).

• Lý thuyêt bài bác tập luyện Công thức lượng giác
• Các dạng bài bác tập luyện Công thức lượng giác
• Bài tập luyện tự động luyện Công thức lượng giác

Công thức lượng giác và cơ hội giải bài bác tập

1. Lý thuyết

Bạn đang xem: Công thức lượng giác và cách giải bài tập (hay, chi tiết).

a. Công thức cộng:

$\sin (a+b)=\sin a.\cos b+\sin b.\cos a$

$\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\sin b.\cos a$

$\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b$

$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$

$\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

b. Công thức nhân song, hạ bậc:

* Công thức nhân đôi:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

* Công thức hạ bậc:

 $\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\\ {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\\ {\tan }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\end{array}$    

* Công thức nhân ba:

$\begin{array}{l}\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \\ cos3\alpha =4co{s}^3\alpha -3cos\alpha \end{array}$

c. Công thức thay đổi tích trở nên tổng:

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)+\cos (a-b)\right]\\ \sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)-\cos (a-b)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a+b)+\sin (a-b)\right]\end{array}$

d. Công thức đại dương thay đổi tổng trở nên tích:

$\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$  $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$  $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$      $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$

$\tan a+\tan b=\frac{\sin (a+b)}{\cos a.\cos b}$ $\tan a-\tan b=\frac{\sin (a-b)}{\cos a.\cos b}$ $\cot a+\cot b=\frac{\sin (a+b)}{\sin a.\sin b}$ $\cot a-\cot b=\frac{\sin (b-a)}{\sin a.\sin b}$

2. Các dạng bài

Dạng 3.1: Tính độ quý hiếm lượng giác của góc quánh biệt

a. Phương pháp giải:

- Sử dụng khái niệm độ quý hiếm lượng giá bán của một góc.

- Sử dụng đặc điểm và độ quý hiếm lượng giác đặc biệt quan trọng.

- Sử dụng những công thức lượng giác.

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính:

a. $\cos \frac{37\pi }{12}$;

b. $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}$.

Lời giải:

a. $\cos \frac{37\pi }{12}$$=\cos \left(2\pi +\pi +\frac{\pi }{12}\right)$

$=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{12}\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)$

$=-\left(\cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}.sin\frac{\pi }{4}\right)$

$=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

b.$\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{24}.\cos \frac{7\pi }{24}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{4}}=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)$

Ví dụ 2: Tính:

a. $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ biết $\sin x=\frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$;

b. $\cos \left(\alpha -\beta \right)$ biết $\sin \alpha =\frac{5}{13}$, $\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$ và , $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$.

Lời giải:

a. Ta có:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \frac{4}{5}$  .

Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x=-\frac{4}{5}$ 

Do bại $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$.

Ta có: $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x.\tan \frac{\pi }{4}}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{1}{7}$.

b. Ta có:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}$, $\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=-\frac{12}{13}$.

$\cos \beta =\frac{3}{5}$, $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\sin \beta =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$.

$\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ $=-\frac{12}{13}.\frac{3}{5}+\frac{5}{13}.\frac{4}{5}=-\frac{16}{65}$ .

Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức hạ bậc, công thức thay đổi tổng kết quả, công thức thay đổi tích trở nên tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng nhằm triển khai luật lệ thay đổi.

Ta lựa chọn 1 trong những cơ hội thay đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác thay đổi một vế trở nên vế sót lại (vế trái ngược trở nên vế cần hoặc vế cần trở nên vế trái)

* Cách 2: Biến thay đổi đẳng thức cần thiết chứng tỏ về một đẳng thức tiếp tục biết là luôn luôn đích thị.

* Cách 3: Biến thay đổi một đẳng thức tiếp tục biết là luôn luôn đích thị trở nên đẳng thức cần thiết chứng tỏ.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a. $si{n}^{4}x+co{s}^{4}x= \frac{1}{4}cos4x+\frac{3}{4}$
b. $cos3x.si{n}^{3}x+sin3x.co{s}^{3}x=\frac{3}{4}sin4x$

Lời giải:

a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

$VT={\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$

$={({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$

$=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4x}{2}$

$=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x=VP$

Suy đi ra đpcm.

b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

$VT= \frac{1}{4}\cos 3x\left(3sinx-sin3x\right)+ \frac{1}{4}\sin 3x\left(3cosx+cos3x\right)$

$=\frac{3}{4}\left(sinx.cos3x+cosx.sin3x\right)=\frac{3}{4}sin4x=VP$

Suy đi ra đpcm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}.\tan B=2$

Lời giải:

Do tam giác ABC đem $A+B+C={180}^0$, suy ra $A+C={180}^0-B$

Do bại, tớ có:

$VT=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{{180}^0-B}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{{180}^0-B}{2}\right)}-\frac{\cos \left({180}^0-B\right)}{\sin B}.\tan B$

$=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}}-\frac{-\cos B}{\sin B}.\tan B$

$={\sin }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+1=2=VP$

Suy đi ra đpcm.

Dạng 3.3: Thu gọn gàng biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức hạ bậc, công thức thay đổi tổng kết quả, công thức thay đổi tích trở nên tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng để lấy biểu thức ban sơ trở thành đơn giản và giản dị, ngắn ngủn gọn gàng rộng lớn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn gàng biểu thức:

a. $A=cos10x+2co{s}^{2}4x+6cos3x.\cos x-\cos x-8\cos x.co{s}^{3}3x$

b. $B=\frac{\sin 3x+\cos 2x-\sin x}{\cos x+\sin 2x-\cos 3x}\left(\sin 2x\ne 0;2\sin x+1\ne 0\right)$

Hướng dẫn:​

a. Ta có:

$A=cos10x+(1+cos8x)-\cos x-2(4co{s}^{3}3x-3cos3x)cosx$

$=(\cos 10x+\cos 8x)+1-\cos x-2\cos 9x.\cos x$

$=2cos9x.\cos x+1-\cos x-2cos9x.\cos x=1-\cos x$

b. Ta có:

$B=\frac{\sin 3x+\cos 2x-\sin x}{\cos x+\sin 2x-\cos 3x}$

$=\frac{2\cos 2x\sin x+\cos 2x}{-2\sin 2x\sin (-x)+\sin 2x}$

$=\frac{2\cos 2x\sin x+\cos 2x}{2\sin 2x\sin x+\sin 2x}$

$=\frac{\cos 2x(1+2\sin x)}{\sin 2x(1+2\sin x)}=\cot 2x$

Ví dụ 2: Rút gọn gàng biểu thức: $C={\sin }^{2}x+2\sin \left(a–x\right).\sin x.\cos a+{\sin }^2\left(a–x\right)$.

Lời giải:

$C={\sin }^{2}x+2\sin \left(a–x\right).\sin x.\cos a+{\sin }^2\left(a–x\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\left(2\sin x\cos a+\sin \left(a-x\right)\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\left(2\sin x\cos a+\sin a\cos x-\cos a\sin x\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\left(\sin x\cos a+\sin a\cos x\right)$

$={\sin }^{2}x+\sin \left(a-x\right)\sin \left(a+x\right)={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\cos 2x-\cos 2a\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2{\sin }^{2}x-(1-2si{n}^{2}a)\right)$

$={\sin }^{2}x+{\sin }^{2}a-{\sin }^{2}x={\sin }^{2}a$

Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức ko tùy thuộc vào biến

a. Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức ko tùy thuộc vào biến hóa tức là sau khoản thời gian rút gọn gàng biểu thức tớ được sản phẩm ko chứa chấp biến hóa. Do bại, nhằm giải dạng toán này, tớ dùng công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức thay đổi tổng kết quả, công thức thay đổi tích trở nên tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng để lấy biểu thức ban sơ trở thành đơn giản và giản dị, ngắn ngủn gọn gàng rộng lớn. Nếu biểu thức sau khoản thời gian thu gọn gàng ko chứa chấp biến hóa, tớ suy đi ra điều cần chứng tỏ.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau ko tùy thuộc vào x:

$A={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

Lời giải:

Ta có:

$A={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

$={\cos }^{2}x+{\left(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)}^2$

$={\cos }^{2}x+\frac{1}{4}{\cos }^{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\sin x+\frac{3}{4}{\sin }^{2}x+\frac{1}{4}{\cos }^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\sin x+\frac{3}{4}{\sin }^{2}x$

$=\frac{3}{2}{\cos }^{2}x+\frac{3}{2}{\sin }^{2}x$

$=\frac{3}{2}\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)$

$=\frac{3}{2}$

Vậy biểu thức tiếp tục mang lại ko tùy thuộc vào x.

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau ko tùy thuộc vào x:

$C=2{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)}^2–\left({\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x\right)$

Lời giải:

Ta có:

$C=2{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right)}^2–\left({\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x\right)$

$=2{\left[{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2–\left[{\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x\right)}^2-2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\right]$

$=2{\left[1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2–{\left[{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2+2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x$

$=2{\left[1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2–{\left[1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\right]}^2+2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x$

$\begin{array}{l}=2\left(1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\right)–\left(1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+4{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\right)\\ +2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\end{array}$

$= 2 – 4\sin 2x \cos 2x + 2\sin 4x \cos 4x – 1 + 4\sin 2x \cos 2x – 4\sin 4x \cos 4x + 2\sin 4x \cos 4x$

=1.

Vậy biểu thức tiếp tục mang lại ko tùy thuộc vào x.

Xem thêm: Bài thơ: Màu tím hoa sim (Hữu Loan - Nguyễn Hữu Loan)

Dạng 3.5: Tính độ quý hiếm biểu thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức cơ phiên bản, những công thức lượng giác (công thức nằm trong, công thức nhân song, công thức hạ bậc, công thức thay đổi tổng kết quả, công thức thay đổi tích trở nên tổng) và những độ quý hiếm lượng giác của những góc tương quan đặc biệt quan trọng.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính độ quý hiếm biểu thức: $A=\cos 10°.\cos 30°.\cos 50°.\cos 70°$.

Lời giải:

Ta có:

$A=\cos 10°.\cos 30°.\cos 50°.\cos 70°$

$=\cos 10°.\cos 30°.\frac{1}{2}\left(\cos {120}^{\text{o}}+\cos {20}^{\text{o}}\right)$

$=\cos {10}^o.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos {20}^o\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(-\frac{\cos {10}^o}{2}+\cos {10}^{o}cos{20}^o\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(-\frac{\cos 10°}{2}+\frac{\cos 30°+\cos 10°}{2}\right)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{cos30°}{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{16}$

Ví dụ 2: Cho $\cos 2\alpha =\frac{2}{3}$. Tính độ quý hiếm của biểu thức $P=\cos \alpha .\cos 3\alpha$.

Lời giải:

Ta có:

$P=\cos \alpha .\cos 3\alpha =\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha \right)$

$=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +2{\cos }^{2}2\alpha -1\right)$

$=\frac{1}{2}\left(2{\cos }^{2}2\alpha +\cos 2\alpha -1\right)$

$=\frac{1}{2}\left[2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}-1\right]=\frac{5}{18}$

3. Bài tập luyện tự động luyện

a. Tự luận

Câu 1: Cho $x+y+z=\pi$, chứng tỏ rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz.

Lời giải:

Từ fake thiết, tớ có:

$x+y+z=\pi \iff x+y=\pi -z$

$\Rightarrow tan\left(x+y\right)=tan\left(\pi -z\right)$

$\iff \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x.\tan y}=-\tan z$

$\iff \tan x+\tan y=-\tan z+\tan x.\tan y.\tan z$

$\iff \tan x+\tan y+\tan z=\tan x.\tan y.\tan z$

Suy đi ra đpcm.

Câu 2: Cho $\sin x+\sin y=2sin\left(x+y\right)$, với $x+y\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng: $tan\frac{x}{2}.tan\frac{y}{2} = \frac{1}{3}$.

Lời giải:

Từ fake thiết, tớ có:

$\begin{array}{l}\sin x+\sin y=2sin\left(x+y\right)\\ \iff 2\sin \frac{x+y}{2}.cos\frac{x-y}{2} =4sin\frac{x+y}{2}.cos\frac{x+y}{2}\end{array}$

$\iff cos\frac{x-y}{2}=2cos\frac{x+y}{2}(dox+y\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

$\iff cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} +sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2} =2\left(cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} -sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2}\right)$

$\iff 3sin\frac{x}{2}.sin\frac{y}{2}=cos\frac{x}{2}.cos\frac{y}{2} \iff tan\frac{x}{2}.tan\frac{y}{2} = \frac{1}{3}$

Suy đi ra đpcm.

Câu 3: Cho $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$  với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Tính độ quý hiếm của $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$.

Lời giải:

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$ (vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha >0$).

Ta có: $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{2}=\frac{2-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$

Câu 4: Tính độ quý hiếm biểu thức $M=\cos \left(–53°\right).\sin \left(–337°\right)+\sin 307°.\sin 113°$.

Lời giải:

$M=\cos \left(–53°\right).\sin \left(–337°\right)+\sin 307°.\sin 113°$

$=\cos \left(–53°\right).\sin \left(23°–360°\right)+\sin \left(-53°+360°\right).\sin \left(90°+23°\right)$

$=\cos \left(–53°\right).\sin 23°+\sin \left(-53°\right).\cos 23°$

$=\sin \left(23°-53°\right)$$=-\sin 30°=-\frac{1}{2}$

Câu 5: Cho số thực $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Tính $\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$.

Lời giải:

Ta có: $\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$

$=\left(2\sin 2\alpha cos2\alpha +2\sin 2\alpha \right)cos\alpha$

$=2\sin 2\alpha \left(\cos 2\alpha +1\right)\cos \alpha$

$=4\sin \alpha \cos \alpha \left(1-2{\sin }^2\alpha +1\right)\cos \alpha$

$=4\sin \alpha {\cos }^2\alpha (2-2si{n}^2\alpha )$

$=4\sin \alpha \left(1-{\sin }^2\alpha \right)\left(2-2{\sin }^2\alpha \right)$

$=8{\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}^2\sin \alpha$

$=8{\left(1-\frac{1}{16}\right)}^2.\frac{1}{4}$$=\frac{225}{128}$

Câu 6: Rút gọn gàng biểu thức $P=\frac{\cos a+2\cos 3a+\cos 5a}{\sin a+2\sin 3a+\sin 5a}$.

Lời giải:

$P=\frac{\cos a+2\cos 3a+\cos 5a}{\sin a+2\sin 3a+\sin 5a}$

$=\frac{2\cos 3a\cos 2a+2\cos 3a}{2\sin 3a\cos 2a+2\sin 3a}$

$=\frac{2\cos 3a\left(\cos 2a+1\right)}{2\sin 3a\left(\cos 2a+1\right)}$

$=\frac{\cos 3a}{\sin 3a}=\cot 3a$

Câu 7: Chứng minh biểu thức $A=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$  không tùy thuộc vào x.

Lời giải:

Ta có: $A=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{1}{4{\tan }^{2}x}\cdot {\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)}^2$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}-\frac{{\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}$

$=\frac{{\left(1-{\tan }^{2}x\right)}^2-{\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^2}{4{\tan }^{2}x}$

$=\frac{-4{\tan }^{2}x}{4{\tan }^{2}x}=-1$

Vậy biểu thức ko tùy thuộc vào biến hóa.

Câu 8: Rút gọn gàng biểu thức $A=\frac{2{\cos }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{\sin }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$ .

Lời giải:

Ta có:

$A=\frac{2{\cos }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{\sin }^{2}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$

$=\frac{\cos 4\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha }{\sqrt{3}\sin 4\alpha -\cos 4\alpha }$

$=\frac{\frac{1}{2}\cos 4\alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4\alpha }{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4\alpha -\frac{1}{2}\cos 4\alpha }$

$=\frac{\sin \left(4\alpha +30°\right)}{\sin \left(4\alpha -30°\right)}$

Câu 9: Biến thay đổi biểu thức $\sin \alpha -1$ thành tích những biểu thức.

Lời giải:

Ta có:

$\sin \alpha -1=\sin \alpha -\sin \frac{\pi }{2}$

$=2\cos \frac{\alpha +\frac{\pi }{2}}{2}\sin \frac{\alpha -\frac{\pi }{2}}{2}$

$=2\cos \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{4}\right).$

Câu 10: thạo $\sin \beta =\frac{4}{5}$, $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ và $\alpha \ne k\pi$. Chứng minh biểu thức: $A=\frac{\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\beta \right)-\frac{4\cos \left(\alpha +\beta \right)}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha }$ không tùy thuộc vào $\alpha$.

Lời giải:

Ta đem  $\left\{\begin{array}{l}0<\beta <\frac{\pi }{2}\\ \sin \beta =\frac{4}{5}\end{array}\right.\Rightarrow \cos \beta =\frac{3}{5}$

$A=\frac{\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\beta \right)-\frac{4\cos \left(\alpha +\beta \right)}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha }$

$=\frac{3(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-4(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )}{\sqrt{3}\sin \alpha }$

$=\frac{3\left(\frac{3}{5}\sin \alpha +\frac{4}{5}\cos \alpha \right)-4\left(\frac{3}{5}\cos \alpha -\frac{4}{5}\sin \alpha \right)}{\sqrt{3}\sin \alpha }$

$=\frac{5\sin \alpha }{\sqrt{3}\sin \alpha }=\frac{5}{\sqrt{3}}$

Vậy biểu thức ko tùy thuộc vào biến hóa α.

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Kết trái ngược này tại đây sai?

A. $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$     

B. $\sin x-\cos x=-\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

C. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$

D. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$

Câu 2: Trong những công thức sau, công thức này sai?

A. $\cot 2x=\frac{{\cot }^{2}x-1}{2\cot x}$  

B. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$

C. $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$   

D. $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$

Câu 3:  Nếu $\mathrm{s}\text{inx}+\cos x=\frac{1}{2}$ thì sin2x bằng

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{3}{8}$.

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.       

D. $\frac{-3}{4}$.

Câu 4: Cho nhì góc nhọn a và b. thạo $\cos a=\frac{1}{3}$, $\cos b=\frac{1}{4}$. Giá trị $\cos \left(a+b\right).\cos \left(a-b\right)$ bằng:

A. $-\frac{113}{144}.$    

B. $-\frac{115}{144}.$    

C. $-\frac{117}{144}.$    

D. $-\frac{119}{144}.$

Câu 5: Cho $\cos x=0$. Tính $A={\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$.

A. $\frac{3}{2}$.

B. 2.  

C. 1. 

D. $\frac{1}{4}$.

Đáp án:

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5
C	B	D	D	A

Xem thêm thắt cách thức giải những dạng bài bác tập luyện Toán lớp 10 hoặc, cụ thể khác:

• Giá trị lượng giác của một góc bất kì kể từ 0 chừng cho tới 180 chừng và cơ hội giải
• Tích vô vị trí hướng của nhì vectơ và cơ hội giải bài bác tập luyện
• Hệ thức lượng nhập tam giác và cơ hội giải bài bác tập luyện
• Hệ trục tọa chừng nhập mặt mày bằng và cơ hội giải bài bác tập luyện
• Phương trình đường thẳng liền mạch và cơ hội giải bài bác tập luyện

Đã đem điều giải bài bác tập luyện lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Chân trời sáng sủa tạo
• (mới) Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Cánh diều

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ xoắn ốc Art of Nature Thiên Long color xinh xỉu
• Biti's đi ra kiểu mới nhất xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---

---

---